解析 函数 $f(x)=|\ln x|+a/x$（$a\ne0$）的定义域为 $x>0$，分段写为
\[f(x)=\begin{cases}
-\ln x+\dfrac ax,&0<x<1,\\[3pt]
\ln x+\dfrac ax,&x\ge1.
\end{cases}\]
在 $x=1$ 左右，函数连续；在 $x=1$ 处须单独讨论单调性。
(1) $a=1$：当 $0<x<1$，
\[f'(x)=-\frac1x-\frac1{x^2}<0.\]
当 $x>1$，
\[f'(x)=\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}>0.\]
所以函数先减后增，在 $x=1$ 处取得最小值 $\boxed{f_{\min}=f(1)=1}$。
(2) 分类讨论：由
\[f'(x)=\begin{cases}
-\dfrac{x+a}{x^2},&0<x<1,\\[3pt]
\dfrac{x-a}{x^2},&x>1,
\end{cases}\]
可得到全部情况：
注意 $a>1$ 时，$x=1$ 两侧都是递减趋势，故合并成 $(0,a)$；$a\le-1$ 时两侧都递增，可合并为 $(0,+\infty)$。
(3) 第一步：确定参数范围与三个零点的位置。
当 $0<x<1$ 时，$f(x)=0$ 等价于
\[x\ln x=a.\]
函数 $h(x)=x\ln x$ 在 $(0,1)$ 上先减后增，在 $x=1/e$ 达到最小值 $-1/e$。当 $x>1$ 时，$f(x)=0$ 等价于 $x\ln x=-a$，而 $x\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格递增且值域为 $(0,+\infty)$。
因此有且仅有三个不同零点当且仅当
\[\boxed{-\frac1e<a<0}.\]
依大小排列为
\[0<x_1<\frac1e<x_2<1<x_3,
\qquad x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=a,
\quad x_3\ln x_3=-a.\]
令 $t=-a$，则 $0<t<1/e$。要证的不等式等价于
\[x_1+x_2+x_3>\frac{2t^2+4t+1}{1+t}
=2t+\frac{1+2t}{1+t}.\]
下面分别证明
\[\boxed{x_1+x_2>2t},\qquad
\boxed{x_3>\frac{1+2t}{1+t}}.\]
第二步：证明 $x_1+x_2>2t$。
设 $u=-\ln x_1>1$、$v=-\ln x_2\in(0,1)$，则
\[u e^{-u}=v e^{-v}=t,
\qquad x_1=\frac tu,\quad x_2=\frac tv.\]
由 $u e^{-u}=v e^{-v}$，取自然对数得 $u-v=\ln(u/v)$。令 $w=u/v>1$，则
\[v=\frac{\ln w}{w-1},\qquad
\frac1u+\frac1v=\frac{w^2-1}{w\ln w}.\]
考虑函数 $\varphi(w)=w-\frac1w-2\ln w$，当 $w>1$，
\[\varphi'(w)=1+\frac1{w^2}-\frac2w
=\frac{(w-1)^2}{w^2}>0,
\qquad\varphi(1)=0.\]
所以 $\varphi(w)>0$，即 $\frac{w^2-1}{w\ln w}>2$。因此
\[x_1+x_2=t\left(\frac1u+\frac1v\right)>\boxed{2t}.\]
第三步：证明 $x_3>(1+2t)/(1+t)$。
对 $x>1$，利用基本不等式 $\ln x<x-1$，可得
\[t=x_3\ln x_3<x_3(x_3-1).\]
设 $z=\frac{1+2t}{1+t}=1+\frac{t}{1+t}>1$，则
\[z(z-1)=\frac{t(1+2t)}{(1+t)^2}<t\]
（因为 $(1+t)^2-(1+2t)=t^2>0$）。又 $x(x-1)$ 在 $(1,+\infty)$ 严格递增，结合 $x_3(x_3-1)>t>z(z-1)$，得到
\[x_3>z=\boxed{\frac{1+2t}{1+t}}.\]
第四步：合并不等式。
\[\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3
&>2t+\frac{1+2t}{1+t}\\
&=\frac{2t^2+4t+1}{1+t}
=\boxed{\frac{2a^2-4a+1}{1-a}}.
\end{aligned}\]
证毕。